K&G Largeframe Kupplung

[PXler]

macht ein mehr an gewicht sich jetzt negativ bemerkbar oder eher nicht, ist da jetzt so meine frage?

ich find die cnc geschichten schon vom gewicht arg fragwürdig, deshalb fahr ich sie ja auch eigentlich nicht.

würd mich da aber mal gerne von einem rechenkünstler anhand von festen zahlen aufklären lassen.

alles andere sehe ich so ein bischen als apekulation an und hilft keinen wirklich weiter.

[PXler]

hier mal das gewicht der k&g mit dem neuen korb, mit 5federn und ohne anlaufscheibe.

ist dann ja doch nicht so viel gegenüber den cnc geschichten, aber immer noch arg viel gegenüber einer cosa, wie ich finde.

[Motorhead]

macht ein mehr an gewicht sich jetzt negativ bemerkbar oder eher nicht, ist da jetzt so meine frage?

öhm wir sind bei der lf auf der kurbelwelle, da gibts auch ein polrad wo es genug gewichtserfahrungen gibt.

was die kulu eventuell zuviel hat, kann man am polrad wegnehmen

[freibier]

Nein, kann man so nicht 1 zu 1 übertragen, zwei unterschiedliche Polräder mit gleicher Masse verhalten sich ja auch nicht gleich, ein Vespatronicpolrad mit 1kg dreht anders hoch, als ein HP4 oder ein abgedrehtes PK Lüfterrad, obwohl alle das gleiche Gewicht auf einer Waage anzeigen.

Wenn nun Kupplung A 200g mehr wiegt, als Kupplung B, aber diese Massendifferenz durch eine Nabe aus Osmiun Nahe der Drehachse der Kupplung bedingt ist, kannst du nicht einfach hergehen und das Polrad um 200g - wahrscheinlich durch abdrehen außen - erleichtern, dann vergleichst du Scheiße mit Erdbeeren.

Ich sags nochmal... Trägheitsmoment, ausnahmsweise darf auch Wikipedia da mal für herhalten...

Bearbeitet 7. August 2011 von freibier

[Motorhead]

nene, für mich gilt bei vespamotoren die milchmädchenrechnung! das reicht für die motoren schon

(anders: man kann durch gewichtabtragen am polrad das mehrgewicht der kulu sinnvoll kompensieren)

Bearbeitet 7. August 2011 von Motorhead

[PXler]

Nein, kann man so nicht 1 zu 1 übertragen, zwei unterschiedliche Polräder mit gleicher Masse verhalten sich ja auch nicht gleich, ein Vespatronicpolrad mit 1kg dreht anders hoch, als ein HP4 oder ein abgedrehtes PK Lüfterrad, obwohl alle das gleiche Gewicht auf einer Waage anzeigen.

Wenn nun Kupplung A 200g mehr wiegt, als Kupplung B, aber diese Massendifferenz durch eine Nabe aus Osmiun Nahe der Drehachse der Kupplung bedingt ist, kannst du nicht einfach hergehen und das Polrad um 200g - wahrscheinlich durch abdrehen außen - erleichtern, dann vergleichst du Scheiße mit Erdbeeren.

Ich sags nochmal... Trägheitsmoment, ausnahmsweise darf auch Wikipedia da mal für herhalten...

sprich deutsch mein freund

[Motorhead]

der alte meint, das nicht nur die masse sondern auch die entfernung der masseteilchen zur rotationsachse in summe (eben die trägheit bei rotation) zu berücksichtigen sind

Bearbeitet 7. August 2011 von Motorhead

[Primavera250]

und sind alle zufrieden?

die jungs könnten ja ruhig mal was schreiben, versteh nicht warum, ausser saban, sich noch keiner geäussert hat.

bekomm nachher mal das gesamtgewicht der k&g mit neuem korb und 5federn und ohne messingscheibe.

für die cnc geschichte gibt es doch sicherlich einige leute die da was zum wiegen rumliegen haben, denke ich.

erich, hast du echt nie das gewicht der kupplung ermittelt?

dürften zufrieden sein siehe Tpic usw.:

http://www.germanscooterforum.de/GSF_Spezial_Angebote_Dienstleistungen_f55/KG_Largeframe_Kupplung_40PS_t174189.html&hl=k

Hab damals anhand des 3D modells und in echt von der erste serie das Gewicht ermittelt !

Bearbeitet 7. August 2011 von Primavera250

[Primavera250]

Nein, kann man so nicht 1 zu 1 übertragen, zwei unterschiedliche Polräder mit gleicher Masse verhalten sich ja auch nicht gleich, ein Vespatronicpolrad mit 1kg dreht anders hoch, als ein HP4 oder ein abgedrehtes PK Lüfterrad, obwohl alle das gleiche Gewicht auf einer Waage anzeigen.

Wenn nun Kupplung A 200g mehr wiegt, als Kupplung B, aber diese Massendifferenz durch eine Nabe aus Osmiun Nahe der Drehachse der Kupplung bedingt ist, kannst du nicht einfach hergehen und das Polrad um 200g - wahrscheinlich durch abdrehen außen - erleichtern, dann vergleichst du Scheiße mit Erdbeeren.

Ich sags nochmal... Trägheitsmoment, ausnahmsweise darf auch Wikipedia da mal für herhalten...

Das heist mehr od. weniger das das gewicht des gr. korbes am leichtesten sein soll od.??? Was ist schwerer der gr. korb von der K&G Kupplung od. der gr. Korb von der Cosa Kupplung???

[Rietzebuh]

Nein, kann man so nicht 1 zu 1 übertragen, zwei unterschiedliche Polräder mit gleicher Masse verhalten sich ja auch nicht gleich, ein Vespatronicpolrad mit 1kg dreht anders hoch, als ein HP4 oder ein abgedrehtes PK Lüfterrad, obwohl alle das gleiche Gewicht auf einer Waage anzeigen.

Wenn nun Kupplung A 200g mehr wiegt, als Kupplung B, aber diese Massendifferenz durch eine Nabe aus Osmiun Nahe der Drehachse der Kupplung bedingt ist, kannst du nicht einfach hergehen und das Polrad um 200g - wahrscheinlich durch abdrehen außen - erleichtern, dann vergleichst du Scheiße mit Erdbeeren.

Ich sags nochmal... Trägheitsmoment, ausnahmsweise darf auch Wikipedia da mal für herhalten...

Alles andere is Käse, der Herr Freibier hat es da recht genau auf den Punkt gebracht...

[Motorhead]

nö, weil wenn man entsprechend mehr scheisse nimmt als erdbeeren, kann mans ausgleichen

[Truls221]

Ja aber doch wird deine ganze kurbelwellenbetrieb mit kulu und polrad als ein einheit beachten über die ganzen trägkeit.

J= 1/2 mR^2

aber die schwere ist doch die trägkeitsradien zu finden. Aber ganz sicher können wir beachten die kurbelwelle als eine "dicke scheibe" und die polrad wie eine "dicke ring". Die kupplung wird

schwerer, aber ich glaube das wird am besten die trägkeit für sich berechnen. der kupplung hat ja auch 2 verschiedener trägkeit, bei einkuppeln und bei auskuppeln.

dann summieren die ganzen trägkeit über die z-achse

ist dann egal obwohl du masse entfernt über die polrad oder die kurbelwelle oder die kupplung so lange das entsprechende masse kompensiert wird über die trägkeitsradie

[lazying]

Die Kupplung existiert ja im CAD-System, da könnte der Erbauer mit einem Klick die genaue Trägheit erfahren. Enfach mal anschreiben.

[gravedigger]

newfren cosa nachbaukorb 435g

mmw cosa korb 520g

[NOSDavid]

Aufgrund der geballten Fachkompetenz in diesem Topik sehe ich meine Äußerungen nicht mehr als notwendig an....

=> Beitrag anzeigen freibier sagte am 6. August 2011 - 14:58:

DAS ist wohl eher Offtopik und hat mir der Kupplung als solches nicht so richtig viel zu tun.

Richtig geil fände ich eine Alukupplung, bzw. einen Alukorb, wird aber wohl nur äußerst schwierig zu realisieren sein. An meiner QM Karre (was anderes hab ich grad nicht mit ordentlich Qualm) wären die guten 15% (!) Zunahme ein klares Ausschlusskriterium.

...

Ömpf...

macht euch mal die unterschiede bzw. Zusammenhänge zwischen Hebel, masse, gewicht und trägheitsmoment klar, bevor ihr durch gewichtserleichterung an irgend einer stelle irgendwas testen wollt...

Ich bitte dich um fachliche Aussage(n)! Ernsthaft jetzt!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!??????????????????????????????????????????

Nein, kann man so nicht 1 zu 1 übertragen, zwei unterschiedliche Polräder mit gleicher Masse verhalten sich ja auch nicht gleich, ein Vespatronicpolrad mit 1kg dreht anders hoch, als ein HP4 oder ein abgedrehtes PK Lüfterrad, obwohl alle das gleiche Gewicht auf einer Waage anzeigen.

Wenn nun Kupplung A 200g mehr wiegt, als Kupplung B, aber diese Massendifferenz durch eine Nabe aus Osmiun Nahe der Drehachse der Kupplung bedingt ist, kannst du nicht einfach hergehen und das Polrad um 200g - wahrscheinlich durch abdrehen außen - erleichtern, dann vergleichst du Scheiße mit Erdbeeren.

Ich sags nochmal... Trägheitsmoment, ausnahmsweise darf auch Wikipedia da mal für herhalten...

Theoretisch ja, praktisch schwer, weil zumindest ich keine scheiße mehr auf dem Polrad übrig habe, welche ich gegen Erdbeeren tauschen könnte...

Bin zwar kein Mod, aber trotzdem:

Wo ist dein wertvoller Beitrag? Vor Allem bezüglich OFF-Topic, wie du ja selbst bezüglich Gewichtsdiskussion bemängelt hast...

PamPamPam => du bist NICHT in der Band!!!!!

An ALLE: Erfahrungsberichte und/oder Verbesserungsvorschläge und sowieso Mängelbeschreibungen bitte hier ins Topic!

ALLE anderen, denkt's euch aber lasst es!! DANKE!!! HIER AUSSCHLIESZLICH TECHNIK!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Brosi]

Bei der Disskussion über das Gewicht der Kupplung, ist der Hinweis, dass man eigentlich das Trägheitsmoment betrachten muss, imho total ontopic.

[T5Pien]

ich glaube, dass es bei dieser kulu hier nicht ganz möglich sein wird, emotionslos fakten zu schreiben.

gleich vorweg - ich habe keine - bin aber immer fleißig am mitlesen gewesen - und das nicht nur in diesem topic.

ich bin mit meiner problemlos seit vielen vielen 1000 km laufenden mmw-cosa kulu sehr zufrieden. die ruscht nicht, kuppelt top etc - ich vermute mal genauso ordentlich wie das pondon von s & s - beide kosten komplett keine 300 euro, machen ebenfalls keine probleme bei 35 + ps motoren,die beläge halten, die nasen schlagen nicht aus und es gibt auch kein rupfen, das verwendete getriebeöl hat keinen einfluss auf die funktion usw.

auf der webseite wird die z.zt. teuerste largeframekulu - die, wenn ich das zusammenzähle keine 20 mal verkauft wurde und sich trotzdem bereits in der 3 oder 4. evolutionsstufe befindet um fehler der vorgängerversion auszumerzen angepriesen. sorry, dass sieht mir insgesamt gesehen eher nach kostenloser beta-testphase für den produzenten aus und wenn ich an die folgeschäden bei dem ein oder anderen denke, kann ich die teils emotionsgeladenen beträge absolut nachvollziehen.

nicht falsch verstehen - ich bin grundsätzlich ein fan von neuen produkten und das meiste, was auf der homepage angeboten wird scheint state of the art zu sein .

[freibier]

Alles wichtige steht oben und hast du sogar selber gequotet.

1. Wie wirkt sich das Gewicht an beiden Seiten der Kurbelwelle aus?

2. Ist es anzustreben, die beiden Seiten gleich zu halten oder ist das wurscht?

3. Sind dabei die Kurbelwangen ebenfalls zu berücksichtigen?

4. Kann ich meinen Schwung um das erleichtern, was die Kupplung an Mehrgewicht mitbringt und kommt dabei dasselbe rum?

5. Wie siehts mit der Gewichts- und Kräfteverteilung bezüglich der unterschiedlichen Kurbelwellenlager links und rechts aus?

Diese 5 Punkte hier in diesem Topik zu diskutieren fände ich schwer offtopik, aber wenn es sonst niemanden stört ist es mir egal. Im übrigen habe ich darauf zwischen zeitlich auch geantwortet udn meine Gedankengänge zu dem Thema geäußert:

...

Wobei mich wenigspäter dieses Posting...

Ich klinke mich hier nochmal mit ein paar Gedanken zum Gewicht ein.

Ich denke, dass ein großer Teil der Problematik von der Masse des Außenkorbes incl Beläge kommt, der einerseits recht schwer ist, andererseits auch einen großen Hebel aufweist. Und genau dieser Teil wird bei der Kulu im gezogenen Zustand ja entkoppelt. Beim einkuppelt wirkt sich dann die komplette Gewichtskraft und die Hebelkraft auf den innneren Korb aus. Das hatten wir ja, dass der sich stark abnutzt.

Da ja dieser Theorie nach der äußere Korb weniger Kraft aushalten muss, wäre in der Tat zu überlegen, ob man am Außenkorb ein leichteres Material realisieren könnte. Die Kräfte, die auf den wirken sind ja geringer, als die auf den Innenkorb. Alu ist aber wahrscheinlich zu weich. Wenn Alu, dann Ring, oder die Abdeckplatte so geändert, dass sie den Außenkorb zusammenhält, dafür nicht mehr mit dem Innenkorb verbunden ist. Da wird es aber schwierig.

...und vorallem die hervorgehobenen Schlagworte dazu veranlassten meinen vorherigen STandpunkt wieder einzunehmen, dass das Groß der die in diesem Topik vertretenen User entweder a) nicht in der Lage sind das von mir beschriebene zu verstehen, oder b) das von mir beschriebene halbswegs verstehen, aber nicht gewillt sind sich 5 minuten lang weiter Informationen einzuholen, die den Rahmen dieses Topiks nun bei weitem sprengen würden.

Bearbeitet 10. August 2011 von freibier

[Motorhead]

wissen und schreibstil sind halt auch 2 paar schuhe

[PXler]

und ich hab diesmal den stunk nicht angefangen, ich schwör

@freibier

schreib die geschichte mit den trägheitsmomenten einfach mal hier rein, den rahmen wirst du sicherlich nicht sprengen und alles wird gut.

und ja ich bin mittlerweile völlig emotionslos und schick die kupplung auch mal die kommende woche zum hersteller zurück.

mal schauen ob und wann die nächste evostufe wieder hier liegt und ob sie dann auch gut funktioniert.

[NOSDavid]

@freibier:

was ich meinte also nochmal in kurz:

du schreibst im ganzen topic immer wieder, dass du über wissen verfügst, teilst es aber nicht mit.

andere seien dumm oder auch nur zum nachlesen zu faul.

du selbst hast keine erfahrungswerte bez. k&g kupplung mitgeteilt.

du teilst deine meinung mit über die topic-relevanz fremder posts.

ich kann keinen technisch relevanten beitrag von dir finden, dass aber, weil ich wahrscheinlich zu betrunken oder bloß so nicht schlau genug dazu bin!

[freibier]

Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von seiner Form, der Massenverteilung und zusätzlich noch von der Drehachse ab. Zur vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus. Man verwendet dafür den Trägheitstensor, aus dem das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse berechnet werden kann.

Werden Körper mit verschiedener Massenverteilung, z. B. zwei Kugeln gleicher Masse aber unterschiedlichen Durchmessers – etwa aus Holz und aus Blei, zum Rotieren gebracht, so ist ihre Massenverteilung um die Drehachse entscheidend: je weiter die Masseteilchen von der Drehachse entfernt sind, desto größer ist aufgrund des Hebelgesetzes das benötigte Drehmoment, um beide Kugeln innerhalb einer bestimmten Zeit in eine Drehung mit gleicher Frequenz zu versetzen. Für den Körper als Summe seiner Massepunkte folgt: für die bei gleicher Masse größere Holzkugel ist das größere Drehmoment nötig. Die Trägheit, die die Kugeln der Winkelgeschwindigkeitsänderung entgegensetzen, wird durch das Trägheitsmoment beschrieben.

Mit einem einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments veranschaulichen. Man setzt sich möglichst mittig auf einen drehbaren Bürostuhl und lässt sich mit gestreckten Armen und Beinen in Drehung versetzen. Wenn man dann die Arme und Beine an den Körper heranzieht, nimmt das Trägheitsmoment ab. Das führt dazu, dass die Drehbewegung schneller wird, weil der Drehimpuls erhalten bleibt (siehe Drehimpulserhaltung). Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung wieder. Um den Effekt zu verstärken, kann man in jede Hand schwere Gegenstände nehmen, etwa Hanteln. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird der Effekt.

Ein ähnliches Beispiel ist der Pirouetteneffekt, der aus dem Eiskunstlaufen bekannt ist. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse aus der Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an oder richtet sich aus einer Hockstellung gerade auf, so dreht er sich schneller – ein erneutes Schwung holen ist nicht nötig.

Formelzeichen und Einheit

Die geläufigsten Formelzeichen für das Trägheitsmoment sind J und I, zurückgehend auf das lateinische Wort iners, das untätig und träge bedeutet. Da beide Symbole aber auch in der Elektrotechnik Verwendung finden, ist weiterhin ein ? (großes Theta) gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend J verwendet.

Die SI-Einheit des Trägheitsmoments ist kg•m2.

Vergleich mit der Masse bei linearer Bewegung

Das Trägheitsmoment J bei einer rotierenden Bewegung ist vergleichbar zur Masse m einer linearen (geradlinigen) Bewegung. Man vergleiche folgende Gleichungen:

Rotationsbewegung: Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung,

geradlinige Bewegung: Kraft = Masse mal Beschleunigung (Zweites Newtonsches Gesetz).

Berechnung

Gezeigt ist eine beliebig geformte Massenverteilung der Dichte , die um die Achse rotiert. Ein Massenelement dieser Verteilung ?mi hat den Abstand von der Drehachse und die Bahngeschwindigkeit .

Allgemeine Definition

Das Massenträgheitsmoment J lässt sich bei bekannter Massenverteilung eines Körpers aus folgendem Volumenintegral berechnen:

.

Dabei ist der zur Rotationsachse senkrechte Anteil von (siehe nebenstehende Abbildung).

Massenpunkte

Die gesamte kinetische Energie eines starren Körpers, der aus N Massenpunkten besteht, ergibt sich aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte:

.

Dabei ist vi die Bahngeschwindigkeit des i-ten Massepunktes. Nun soll der gesamte Körper um die Achse rotieren. Jeder einzelne Massenpunkt beschreibt daher eine Kreisbahn. Die Bahngeschwindigkeit v eines Teilchens, das auf einer Kreisbahn mit Radius r mit der Winkelgeschwindigkeit ? rotiert, lässt sich als berechnen. Daher folgt:

.

Analog zur Definition der Bewegungsenergie

eines linear bewegten starren Körpers aus N Massenpunkten mit der Gesamtmasse M, definiert man das Trägheitsmoment eines rotierenden starren Körpers aus N Massenpunkten als

.

Es gilt also

.

Durch diese Definition kann man folgende Größen rotierender Massenpunkte mit den Größen linear bewegter Massenpunkte identifizieren:

Die Masse eines rotierenden Körpers entspricht dem Trägheitsmoment J.

Die Geschwindigkeit eines rotierend Körpers entspricht der Winkelgeschwindigkeit ?.

Wählt man die x-Achse des Koordinatensystems in Richtung der Rotationsachse, so lässt sich noch folgende praktische Gleichung ableiten:

.

Wobei yi und zi die y- und z-Koordinaten des i-ten Massenpunktes im so gewählten Koordinatensystem sind. Der Index "x" ist wichtig, da das Trägheitsmoment eines Körpers immer auf eine Rotationsachse (hier die x-Achse) bezogen ist.

Massenverteilung

Die Formel für das Massenträgheitsmoment einer allgemeinen Massenverteilung erhält man, in dem man sich die Massenverteilung aus vielen kleinen Massenelementen ?mi aufgebaut, vorstellt. Die Rotationsenergie ist dann durch

.

gegeben. Der Übergang zum Integral mit dem Volumen V, des aus den infinitesimalen Massenelementen dm zusammengesetzten Körpers, ergibt

.

Hieraus ergibt sich die oben angegebene allgemeine Definition des Trägheitsmomentes. ist die vom Ortsvektor abhängige Dichte. Bei einer homogenen Masseverteilung ist die Dichte konstant und die Rechnung vereinfacht sich zu: Weiter unten ist eine Beispielrechnung angegeben. Der Gesamtdrehimpuls des starren Körpers lässt sich durch berechnen. Dies lässt sich wie folgt einsehen. Da der Drehimpuls eines einzelnen Massenelementes ?mi

ist, ergibt sich der Gesamtdrehimpuls zu

Außerdem folgt daraus sofort

Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper

Das Trägheitsmoment rotationssymmetrischer Körper, die um ihre Symmetrieachse (z-Achse) rotieren, kann einfach mit Hilfe von Zylinderkoordinaten berechnet werden. Dazu muss entweder die Höhe als Funktion des Radius (h = h®) oder der Radius als Funktion der z-Koordinate (r = r(z)) bekannt sein. Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ergibt sich zu . Die Integrationen über und z bzw. über und r sind leicht auszuführen und man erhält:

bzw.

Trägheitsmoment bezüglich zueinander paralleler Achsen

Illustration der Steiner-Regel. Drehachse 1 geht durch den Schwerpunkt des Körpers der Masse m. Drehachse 2 ist um den Abstand d verschoben.

Ist das Trägheitsmoment JS für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so kann mit Hilfe des steinerschen Satzes das Trägheitsmoment JP für eine beliebige parallel verschobene Drehachse berechnet werden. Die Formel lautet:

Dabei gibt d den Abstand der Achse durch den Schwerpunkt zur parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann die Steiner-Regel für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss die Steiner-Regel zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.

Trägheitstensor

Der Trägheitstensor Ixy eines Körpers ist eine Verallgemeinerung des Trägheitsmomentes. In einem kartesischen Koordinatensystem lässt sich der Trägheitstensor als Matrix darstellen, die sich aus den Trägheitsmomenten bezüglich der drei Koordinatenachsen und den Deviationsmomenten zusammensetzt. Die drei Trägheitsmomente bilden die Diagonale der Matrix, die Deviationsmomente sind die Nebendiagonalelemente. Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich z. B. das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen, durch den Schwerpunkt gehenden Achse berechnen. Wenn ein starrer Körper um eine solche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit rotiert, so ergibt sich das Trägheitsmoment zu

oder in Matrixschreibweise

Drehung des Koordinatensystems

Eine Achse in beliebiger Raumrichtung wird beschrieben durch den Einheitsvektor . Man kann diesen z. B. dadurch erhalten, dass man den Einheitsvektor in z-Richtung mittels einer Drehmatrix R dreht:

Mit erhält man

Mit Hilfe dieser Drehmatrix kann nun der Trägheitstensor in ein Koordinatensystem transformiert werden, in dem die z-Achse in Richtung der Rotationsachse zeigt:

Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist jetzt einfach das 3. Diagonalelement des Tensors in der neuen Darstellung. Nach Ausführung der Matrizenmultiplikation und trigonometrischen Umformungen ergibt sich

Beispielrechnung: Rotationssymmetrischer Körper

Wir betrachten als Beispiel dazu den Trägheitstensor eines rotationssymmetrischen Körpers. Wenn eine der Koordinatenachsen (hier die z-Achse) mit der Symmetrieachse zusammenfällt, dann ist dieser Tensor diagonal. Die Trägheitsmomente für Rotation um die x-Achse und die y-Achse sind gleich (Ixx = Iyy = J1). Für die z-Achse kann das Trägheitsmoment verschieden sein (Izz = J2). Der Trägheitstensor hat damit folgende Gestalt:

Transformiert man diesen Tensor wie oben beschrieben in ein Koordinatensystem, das um den Winkel um die y-Achse gedreht ist, so erhält man:

Daraus ergibt sich:

Für sind die Trägheitsmomente für die x- und z-Achse von abhängig.

Für ist der Trägheitstensor nicht mehr diagonal, es treten Deviationsmomente auf.

Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist:

Für J1 = J2 hängt wegen das Trägheitsmoment nicht von der Richtung der Drehachse ab

Besondere Trägheitsmomente

Hauptträgheitsmoment

Betrachtet man einen unregelmäßig geformten Körper, der um eine Achse durch seinen Schwerpunkt rotiert, so variiert dessen Trägheitsmoment je nach Lage der Drehachse. Dabei gibt es zwei Achsen, bezüglich derer das Trägheitsmoment des Körpers maximal bzw. minimal ist. Diese Achsen stehen immer senkrecht zueinander und bilden zusammen mit einer dritten, wiederum senkrecht auf beiden stehenden Achse die Hauptträgheitsachsen des Körpers. In einem von den Hauptträgheitsachsen aufgespannten Koordinatensystem ist der Trägheitstensor diagonal. Die zu den Hauptträgheitsachsen gehörenden Trägheitsmomente sind also die Eigenwerte des Trägheitstensors, sie heißen Hauptträgheitsmomente.

Die Hauptträgheitsachsen fallen mit eventuell vorhandenen Symmetrieachsen des Körpers zusammen. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß, so sind alle Drehachsen in der Ebene, die von den zugehörigen Hauptträgheitsachsen aufgespannt wird, ebenfalls Hauptträgheitsachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment. Das ist bei zylindersymmetrischen Körpern unmittelbar klar, gilt aber z. B. ebenso für einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche. Für den Fall, dass alle Hauptträgheitsmomente identisch sind, ist, wie oben gezeigt wurde, jede Drehachse durch den Schwerpunkt eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. Für alle regelmäßigen Körper wie Kugel, Tetraeder, Würfel, usw. ist demnach das Trägheitsmoment für jede Achse durch den Schwerpunkt gleich groß.

Siehe auch: Trägheitsellipsoid

Trägheitsmoment zur eingespannten Achse

Wenn ein starrer Körper um eine fest eingespannte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit rotiert (die Richtung des Vektors ist die Richtung der Drehachse), so lässt sich der Drehimpuls aus der allgemeinen Formel berechnen. Dabei ist I im Gegensatz zur oben angegeben Formel nicht das Trägheitsmoment sondern der Trägheitstensor. Im Allgemeinen hat der Drehimpuls jetzt nicht die Richtung der Drehachse und ist zeitlich nicht konstant, so dass die Lager ständig Drehmomente aufbringen müssen (Dynamische Unwucht). Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen ist .

Für die Drehimpulskomponente L entlang der Drehachse gilt L = J?, dabei ist ? die Winkelgeschwindigkeit und J das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse . Die kinetische Energie der Rotation, auch kurz als Rotationsenergie bezeichnet, kann durch

ausgedrückt werden. Diese Formeln zeigen die Analogie zu den entsprechenden Formeln für Impuls und kinetische Energie der Translationsbewegung.

Beispiele

Trägheitsmomente von Himmelskörpern

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind angenähert kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des Himmelskörpers.

Die Differenz dieses „polaren“ und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt diese Differenz bei 0,3 Prozent, entspricht also fast der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter sind diese Relativwerte rund 20-mal größer.

Das Trägheitsmoment eines Himmelskörpers lässt wegen r² im obigen Integral auf die innere Konzentration seiner Masse schließen. Jenes der Erde ist kleiner, als wenn sie homogen aufgebaut wäre, nämlich etwa 0,33 m r2, statt 0,4 m r2.[1] Daraus kann man errechnen, dass der Erdkern aus Eisen (oder metallisch verdichtetem Wasserstoff) besteht.

Hauptträgheitsmomente einfacher geometrischer Körper

Wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, liegt der Schwerpunkt der geometrischen Körper auf der Drehachse auf die sich das Trägheitsmoment bezieht. m ist die Masse des rotierenden Körpers. Das Trägheitsmoment für Drehungen um andere Achsen kann man dann mit Hilfe des Satzes von Steiner berechnen.

Abbildung Beschreibung Trägheitsmoment

Eine Punktmasse im Abstand r um eine Drehachse.

Ein Zylindermantel, der um seine Symmetrieachse rotiert, für eine Wandstärke .

Ein Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.

Ein Hohlzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert. Schließt die vorgenannten Grenzfälle Zylindermantel und Vollzylinder mit ein.

Ein Vollzylinder, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert.

Ein Zylindermantel, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert.

Ein dünner Stab, der um eine Querachse (zweizählige Symmetrieachse) rotiert. Diese Formel ist eine Näherung für einen Zylinder mit .

Dünner Stab, der um eine Querachse durch ein Ende rotiert. Diese Formel ist die Anwendung der Steiner-Regel auf den dünnen Stab.

Eine Kugelschale, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, für eine Wandstärke .

Eine massive Kugel, die um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert.

Ein Quader, der um eine Achse durch den Mittelpunkt rotiert, die parallel zu seinen Kanten c liegt.

Ein Quader, der um eine Achse rotiert, die durch den Mittelpunkt der Fläche bc geht und mit den Richtungen a und b die Winkel ? bzw. 90° einschließt.

Ein massiver Kegel, der um seine Achse rotiert.

Ein Kegelmantel, der um seine Achse rotiert. Die Gleichheit mit dem Trägheitsmoment eines Vollzylinders kann man sich so vorstellen, dass man jeden Kegelmantel zu einer Kreisscheibe "plattdrücken" kann, ohne sein Trägheitsmoment zu verändern.

Ein massiver Kegelstumpf, der um seine Achse rotiert.

Eine vierseitige, regelmäßige Pyramide, die um ihre Symmetrieachse rotiert.

Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel

Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.

Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der z-Achse verlaufen. Um das Integral

auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x, y, z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln

und der Funktionaldeterminanten

Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert

Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in

kann durch partielle Integration mit

gelöst werden:

Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:

Experimentelle Bestimmung

Zur Messung eines Trägheitsmoments eines Körpers verwendet man einen Drehtisch. Dieser besteht aus einer Kreisscheibe, die um ihre Symmetrieachse drehbar ist und einer Schneckenfeder. Sie bewirkt bei einer Drehung der Scheibe ein rücktreibendes Drehmoment D, das direkt proportional zum Auslenkwinkel ist: . Die Proportionalitätskonstante Dr nennt man Direktionsmoment oder Richtmoment. Ihr Wert hängt von der Stärke der Feder ab. Die Scheibe führt nun harmonische Schwingungen mit der Schwingungsdauer

,

aus, wobei J0 das Trägheitsmoment der Scheibe ist. Legt man nun zusätzlich einen Körper mit bekanntem Trägheitsmoment J1 auf die Scheibe, so ändert sich die Schwingungsdauer zu

.

Aus der Differenz

lässt sich das Direktionsmoment Dr des Drehtisches bestimmen und aus obiger Formel für T0 erhält man dann das Trägheitsmoment J0 des Drehtisches. Legt man nun einen beliebigen Körper auf den Drehtisch, so kann man sein Trägheitsmoment J bezüglich der Rotationsachse aus der gemessenen Schwingungsdauer

berechnen.

Mein Link! Und das kann man sich nicht mal eben durchlesen, sich Mühe geben das zu verstehen, um dann enstehende Fragen zu klären?

[lazying]

Und das kann man sich nicht mal eben durchlesen, sich Mühe geben das zu verstehen, um dann enstehende Fragen zu klären?

eigentlich ganz easy, nur lesen und verstehen....

[Schrottpresse]

So nun melde ich mich zu Wort

Eine LF-Kupplung wurde am 10.5.2011 eine bestellt heute ist der 4.09.2011 und es ist still sehr still.......................

Habe den Herrn einen Brief für eine allerletze Lieferung der Kupplung am 5.09.2011 in Aussicht gestellt oder Geld zurück!!!

Es ist still sehr still............................

Bis heute habe ich noch nichts gehört, wie gesagt es ist still sehr still, wurde immer und immerwieder vertröstet inzwischen sind fast 4 MONATE vergangen und keine Sterbenwörtchen von diesem Herrn!

Es ist still sehr still............................

Das beste ist als ich Bestellt habe hat er mir mitgeteilt das der Artikel Lagernd ist!

Es ist still sehr still............................

Danach habe ich an die "Falsche E-mail Adresse" geschrieben, laut diesem Herrn weis doch jedes Kind das man ihn am einfachsten hier im Forum eine e-mail oder ein pm schreibt!!!!

Es ist still sehr still!..............................

Gesagt getan..............ja in 2 Wochen ja nächste Woche ist beim Fertiger usw.........bis es endgültig verstummte und nix mehr von ihm gehört wurde!

Jetzt habe ich einen Termin beim Konsumentenschutz!

Werde weiters darüber berichten!

Bearbeitet 4. September 2011 von Schrottpresse

[PXler]

wurd auch mal zeit das du jetzt mal dein statement hier abgibst

warst ja geduldig genug.

sein fräser aus österreich fertigt wohl auch nicht mehr für ihn und da wurde zumindest ein teil der largeframekupplung hergestellt.

wurde mir so zugetragen

mich würd interessieren ob da noch leute auf eine schon bezahlte kupplung warten und keine antwort mehr vom erich bekommen?

wenn es denn so wäre, wär es schön wenn die jungs sich hier auch mal melden.

gemeinsam ist man stark

ich werd dann auch mal gleich den hr. anschreiben und nach ersatz meiner protokupplung fragen

wurde mir beim kauf und auch mehrmals hier im forum zugesichert.

wenn da auch nix kommt würde ich gerne mit aufs boot springen und da rechtlich was einfordern.

Bearbeitet 4. September 2011 von PXler

[Schrottpresse]

JA, wenn mehrer sind könnte man ja ne Sammelklage einreichen!

[PXler]

ich halt mich ja jetzt schon öffentlich etwas zurück, damit keiner von einer privatfede meinerseits reden kann.

schlimm finde ich aber, das der jung im smallframebereich in einer ganz anderen preisklasse material von sich verkaufen will.

[Primavera250]

da ich ab heute wieder online bin können sich wieder alle die fragen usw. haben sich per pm od. per mail an mich wenden.

Warum soll den mein Fertiger aus österreich nicht mehr für mich fertiger bei unsicherheit könnt ihr ihn auch per pm fragen auch der Herr PXler der ja sowieso gerne gerüchte in die welt setzt!

[vespaoldies]

wurd auch mal zeit das du jetzt mal dein statement hier abgibst

warst ja geduldig genug.

sein fräser aus österreich fertigt wohl auch nicht mehr für ihn und da wurde zumindest ein teil der largeframekupplung hergestellt.

wurde mir so zugetragen

mich würd interessieren ob da noch leute auf eine schon bezahlte kupplung warten und keine antwort mehr vom erich bekommen?

wenn es denn so wäre, wär es schön wenn die jungs sich hier auch mal melden.

gemeinsam ist man stark

HIER!

Vor ca. 12 (!) Monaten hab ich Geld für eine Kulu überwiesen, bis heute ausser Versprechungen und viel BlaBla weder Kulu noch Geld erhalten. Auf den eingeschalteten Anwalt keine Reaktion. Weiter Schritte laufen bereits ...

Ich kann jedem nur davon abraten, vorab Geld zu überweisen ...

Details gerne per PM!

[PXler]

@primavera

du kannst aber schon lesen, oder?

ist aber eh latte, ich schick dir jetzt die tage die kupplung zwecks austausch.

12 monate

krass

Bearbeitet 5. September 2011 von PXler